Геометрия (греч. geometria, от ge — Земля и metreo — мерю), раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы, а также другие отношений и формы, сходные с пространственными по своей структуре.
Происхождение термина «Геометрия", что буквально означает «землемерие», можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.): «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшего границы». Уже у древних греков Геометрия означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия. Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, Геометрия развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах и т.п.
Геометрия – это на сегодняшний день достаточно обширная наука, причем основополагающие утверждения для одних ее разделов могут
Это тоже финслерова геометрия, в 3d логичнее было бы увидеть шар...
противоречить настолько же важным утверждениям для других. Поэтому Феликс Клейн (автор односторонней поверхности, известной как бутылка
Клейна) создал классификацию разделов геометрии. За основу был взят принцип о том, что каждый раздел должен изучать те свойства геометрических объектов, которые при преобразовании этих объектов оставались бы постоянными по правилам именно этого раздела (иными словами, это свойства-инварианты).
Мы рассмотрим три вида геометрии, создателями которых являются Евклид, Лобачевский и Риман.
Евкли́дилиЭвкли́д
(ок. 300 г.до н. э.) — древнегреческий математик. Мировую известность приобрёл благодаря сочинению по основам математики «Начала». Основатель современной геометрии, преимущественно используемой в повседневной жизни.
Никола́й Ива́нович Лобаче́вский
(20 ноября (1 декабря) 1792), Нижний Новгород — 12 (24) февраля 1856, Казань), русский математик, создатель неевклидовой геометрии, названной его именем, деятель университетского образования и народного просвещения. Известный английский математик Уильям Клиффорд назвал Лобачевского «Коперником геометрии».
Георг Фридрих Бернхард Риман
(нем. Georg-Friedrich-Bernhard Riemann, 17 сентября 1826, Брезеленц, Ганновер — 20 июля 1866, Селаска, Италия, близ Лаго-Маджоре) — немецкий математик. За свою короткую жизнь (всего 10 лет трудов) он преобразовал сразу несколько разделов математики.
Евкли́дова геоме́трия (илиэлементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системы аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III века до н.э.).
В «Началах» Евклида, была дана следующая аксиоматика: - От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.
- Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой. - Из всякого центра всяким раствором может быть описан круг. - Все прямые углы равны между собой. - Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше - двух прямых. Исследование системы аксиом Евклида во второй половине XIX века показало её неполноту.
В 1899 году Д. Гильберт предложил первую достаточно строгую аксиоматику евклидовой геометрии. Попытки улучшения евклидовой аксиоматики предпринимались до Гильберта Пашем, Шуром, Пеано, Веронезе, однако подход Гильберта, при всей его консервативности в выборе понятий, оказался более успешным.
Одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Лобачевский в работе «О началах геометрии» (1829), первой его печатной работе по неевклидовой геометрии, ясно заявил, что V постулат не может быть доказан на основе других посылок евклидовой геометрии, и что допущение постулата, противоположного постулату Евклида, позволяет построить геометрию столь же содержательную, как и евклидова, и свободную от противоречий.
Евклидова аксиома о параллельных гласит:
- через точку, не лежащую на данной прямой,
проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая её.
В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: -через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.
Геометрия Лобачевского имеет обширные применения как в математике, так и в физике. Историческое её значение состоит в том, что её построением Лобачевский показал возможность геометрии, отличной от евклидовой, что знаменовало новую эпоху в развитии геометрии и математики.
Геометрия Римана
Одна из трёх «великих геометрий» (Евклида, Лобачевского и Римана). Если геометрия Евклида реализуется на поверхностях с постоянной нулевой гауссовской кривизной, Лобачевского — с постоянной отрицательной, то геометрия Римана — реализуется на поверхностях с постоянной положительной гауссовской кривизной.
В геометрии Римана прямая определяется двумя точками, плоскость — тремя, две плоскости пересекаются по прямой и т. д., но через данную точку
нельзя провести к прямой ни одной параллельной. В частности, в этой геометрии имеется теорема:сумма углов треугольника больше двух прямых.
Итоги.
Геометрия Лобачевского находит применение при изучении сверх-больших (космических) пространств. Недаром сам автор назвал ее «пангеометрией», т.е. всеобщей геометрией. Идеи Лобачевского широко используются современными физиками при построении общей геометрической картины «физического мира». Альберт Эйнштейн, например, применил их в своей теории относительности.
Геометрия Римана не имеет практического использования в повседневный, она носит лишь теоретический характер, но также является неотъемлемой частью как геометрии, так и математики в целом.
А теперь о ТОЙ ГЕОМЕТРИИ, о которой идёт речь в фильме.
ФИНСЛЕРОВА ГЕОМЕТРИЯ - метрическое обобщение римановой геометрии, возникающее вслед за введением общего определения длины вектора, не ограниченного частным римановым определением в виде корня квадратного из квадратичной формы. Развитие такого обобщения начинается с работы Пола Финслера. (Математическая энциклопедия)
Умные мысли на «языке» ученых. Четырехмерное пространство-время рассматривается как Финслерово пространство с метрикой Бервальда-Моора. В отличие от квадратичной метрики Минковского, используемой в Теории Относительности, метрика Бервальда-Моора имеет
четвертую степень, что приводит к ряду интересных результатов.
Известный из Теории Относительности световой конус принимает форму двух пирамид, сопряженных вершинами, а наше трехмерное пространство оказывается анизотропным, и подобная анизотропия подтверждается астрофизическими наблюдениями.
В фильме "Геометрия Вселенной" вы узнаете содержание оригинальной гипотезы о строении нашего мира. Она состоит в том, что пространство нашей Вселенной в действительности не трехмерное, а содержит намного больше измерений. Притом, его все равно можно легко описать математически.
